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Formula 1: Percentage = (Part ÷ Whole) × 100 | प्रतिशत = (भाग ÷ पूर्ण) × 100
Formula 2: Profit % = [(SP − CP) ÷ CP] × 100 | लाभ % = [(वि.मू. − क्र.मू.) ÷ क्र.मू.] × 100
Formula 3: Loss % = [(CP − SP) ÷ CP] × 100 | हानि % = [(क्र.मू. − वि.मू.) ÷ क्र.मू.] × 100
Formula 4: Simple Interest = (P × R × T) ÷ 100 | साधारण ब्याज = (मूलधन × दर × समय) ÷ 100
Formula 5: Compound Interest = P(1 + R/100)ᵗ − P | चक्रवृद्धि ब्याज = मूलधन(1 + दर/100)ᵗ − मूलधन
Formula 6: Ratio Proportion: a : b = c : d ⇒ ad = bc | अनुपात समानुपात: a : b = c : d ⇒ ad = bc
Formula 7: Speed = Distance ÷ Time | गति = दूरी ÷ समय
Formula 8: Average = Sum ÷ Count | औसत = योग ÷ संख्या
Formula 9: Mixture Rule = (R − M) ÷ (M − C) | मिश्रण नियम = (R − M) ÷ (M − C)
Formula 10: Time & Work: 1/A + 1/B = 1/T | कार्य समय: 1/A + 1/B = 1/T
Formula 11: (a + b)² = a² + 2ab + b² | (a + b)² = a² + 2ab + b²
Formula 12: (a − b)² = a² − 2ab + b² | (a − b)² = a² − 2ab + b²
Formula 13: a² − b² = (a + b)(a − b) | a² − b² = (a + b)(a − b)
Formula 14: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ | (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Formula 15: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ | (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
Formula 16: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) | a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
Formula 17: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) | a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
Formula 18: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) | (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
Formula 19: Quadratic Formula: (-b ± √(b²−4ac)) ÷ 2a | द्विघात सूत्र: (-b ± √(b²−4ac)) ÷ 2a
Formula 20: AP nth Term: a + (n−1)d | समांतर श्रेणी nवां पद: a + (n−1)d
Formula 21: AP Sum: n/2 × [2a + (n−1)d] | समांतर श्रेणी योग: n/2 × [2a + (n−1)d]
Formula 22: GP nth Term: arⁿ⁻¹ | गुणोत्तर श्रेणी nवां पद: arⁿ⁻¹
Formula 23: GP Sum: a(rⁿ−1) ÷ (r−1) | गुणोत्तर श्रेणी योग: a(rⁿ−1) ÷ (r−1)
Formula 24: Sum of first n natural numbers = n(n+1)/2 | प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग = n(n+1)/2
Formula 25: Sum of squares = n(n+1)(2n+1) ÷ 6 | वर्गों का योग = n(n+1)(2n+1) ÷ 6
Formula 26: Sum of cubes = [n(n+1)/2]² | घनों का योग = [n(n+1)/2]²
Formula 27: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Formula 28: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Formula 29: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
Formula 30: a⁰ = 1 | a⁰ = 1
Formula 31: a⁻ⁿ = 1/aⁿ | a⁻ⁿ = 1/aⁿ
Formula 32: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
Formula 33: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
Formula 34: logₐ(mn) = logₐm + logₐn | logₐ(mn) = logₐm + logₐn
Formula 35: logₐ(m/n) = logₐm − logₐn | logₐ(m/n) = logₐm − logₐn
Formula 36: logₐ(mⁿ) = n logₐm | logₐ(mⁿ) = n logₐm
Formula 37: logₐa = 1 | logₐa = 1
Formula 38: logₐ1 = 0 | logₐ1 = 0
Formula 39: Pythagorean Theorem: a² + b² = c² | पाइथागोरस प्रमेय: a² + b² = c²
Formula 40: Circle Area = πr² | वृत्त क्षेत्रफल = πr²
Formula 41: Circle Circumference = 2πr | वृत्त परिधि = 2πr
Formula 42: Triangle Area = ½ × base × height | त्रिभुज क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई
Formula 43: Rectangle Area = length × breadth | आयत क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
Formula 44: Square Area = side² | वर्ग क्षेत्रफल = भुजा²
Formula 45: Parallelogram Area = base × height | समांतर चतुर्भुज क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
Formula 46: Trapezium Area = ½ × (sum of parallel sides) × height | समलंब क्षेत्रफल = ½ × (समांतर भुजाओं का योग) × ऊँचाई
Formula 47: Cube Volume = a³ | घन आयतन = a³
Formula 48: Cuboid Volume = l × b × h | घनाभ आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई
Formula 49: Cylinder Volume = πr²h | बेलन आयतन = πr²h
Formula 50: Sphere Volume = (4/3)πr³ | गोला आयतन = (4/3)πr³
Formula 51: Cone Volume = (1/3)πr²h | शंकु आयतन = (1/3)πr²h
Formula 52: Hemisphere Volume = (2/3)πr³ | अर्धगोला आयतन = (2/3)πr³
Formula 53: Cube Surface Area = 6a² | घन पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a²
Formula 54: Cuboid Surface Area = 2(lb + bh + hl) | घनाभ पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(लच + चऊ + ऊल)
Formula 55: Cylinder Curved Surface = 2πrh | बेलन वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
Formula 56: Cylinder Total Surface = 2πr(h + r) | बेलन कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(h + r)
Formula 57: Sphere Surface Area = 4πr² | गोला पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
Formula 58: Hemisphere Curved Surface = 2πr² | अर्धगोला वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr²
Formula 59: Hemisphere Total Surface = 3πr² | अर्धगोला कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πr²
Formula 60: Cone Curved Surface = πrl | शंकु वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
Formula 61: Cone Total Surface = πr(l + r) | शंकु कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = πr(l + r)
Formula 62: Diagonal of Cube = a√3 | घन का विकर्ण = a√3
Formula 63: Diagonal of Cuboid = √(l² + b² + h²) | घनाभ का विकर्ण = √(ल² + च² + ऊ²)
Formula 64: sin θ = opposite/hypotenuse | sin θ = लंब/कर्ण
Formula 65: cos θ = adjacent/hypotenuse | cos θ = आधार/कर्ण
Formula 66: tan θ = opposite/adjacent | tan θ = लंब/आधार
Formula 67: cosec θ = 1/sin θ | cosec θ = 1/sin θ
Formula 68: sec θ = 1/cos θ | sec θ = 1/cos θ
Formula 69: cot θ = 1/tan θ | cot θ = 1/tan θ
Formula 70: sin²θ + cos²θ = 1 | sin²θ + cos²θ = 1
Formula 71: 1 + tan²θ = sec²θ | 1 + tan²θ = sec²θ
Formula 72: 1 + cot²θ = cosec²θ | 1 + cot²θ = cosec²θ
Formula 73: sin 2θ = 2 sin θ cos θ | sin 2θ = 2 sin θ cos θ
Formula 74: cos 2θ = cos²θ − sin²θ | cos 2θ = cos²θ − sin²θ
Formula 75: tan 2θ = 2 tan θ/(1 − tan²θ) | tan 2θ = 2 tan θ/(1 − tan²θ)
Formula 76: sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B | sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
Formula 77: sin(A − B) = sin A cos B − cos A sin B | sin(A − B) = sin A cos B − cos A sin B
Formula 78: cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B | cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B
Formula 79: cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B | cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B
Formula 80: tan(A + B) = (tan A + tan B)/(1 − tan A tan B) | tan(A + B) = (tan A + tan B)/(1 − tan A tan B)
Formula 81: tan(A − B) = (tan A − tan B)/(1 + tan A tan B) | tan(A − B) = (tan A − tan B)/(1 + tan A tan B)
Formula 82: sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A-B)/2) | sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A-B)/2)
Formula 83: sin A − sin B = 2 cos((A+B)/2) sin((A-B)/2) | sin A − sin B = 2 cos((A+B)/2) sin((A-B)/2)
Formula 84: cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2) | cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2)
Formula 85: cos A − cos B = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2) | cos A − cos B = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2)
Formula 86: Law of Sines: a/sin A = b/sin B = c/sin C | ज्या नियम: a/sin A = b/sin B = c/sin C
Formula 87: Law of Cosines: c² = a² + b² − 2ab cos C | कोज्या नियम: c² = a² + b² − 2ab cos C
Formula 88: Area of Triangle = ½ ab sin C | त्रिभुज क्षेत्रफल = ½ ab sin C
Formula 89: Height & Distance: h = d tan θ | ऊँचाई और दूरी: h = d tan θ
Formula 90: d/dx(xⁿ) = nxⁿ⁻¹ | अवकलन: d/dx(xⁿ) = nxⁿ⁻¹
Formula 91: d/dx(constant) = 0 | d/dx(अचर) = 0
Formula 92: d/dx(uv) = u'v + uv' | गुणन नियम: d/dx(uv) = u'v + uv'
Formula 93: d/dx(u/v) = (u'v − uv')/v² | भागफल नियम: d/dx(u/v) = (u'v − uv')/v²
Formula 94: d/dx(sin x) = cos x | d/dx(sin x) = cos x
Formula 95: d/dx(cos x) = -sin x | d/dx(cos x) = -sin x
Formula 96: d/dx(tan x) = sec²x | d/dx(tan x) = sec²x
Formula 97: d/dx(cot x) = -cosec²x | d/dx(cot x) = -cosec²x
Formula 98: d/dx(sec x) = sec x tan x | d/dx(sec x) = sec x tan x
Formula 99: d/dx(cosec x) = -cosec x cot x | d/dx(cosec x) = -cosec x cot x
Formula 100: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C | समाकलन: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C
Formula 101: ∫eˣ dx = eˣ + C | ∫eˣ dx = eˣ + C
Formula 102: ∫sin x dx = -cos x + C | ∫sin x dx = -cos x + C
Formula 103: ∫cos x dx = sin x + C | ∫cos x dx = sin x + C
Formula 104: ∫sec²x dx = tan x + C | ∫sec²x dx = tan x + C
Formula 105: ∫cosec²x dx = -cot x + C | ∫cosec²x dx = -cot x + C
Formula 106: ∫1/x dx = ln|x| + C | ∫1/x dx = ln|x| + C
Formula 107: Mean: x̄ = ∑xᵢ/n | माध्य: x̄ = ∑xᵢ/n
Formula 108: Median (odd n): (n+1)/2th term | माध्यिका (विषम): (n+1)/2 वां पद
Formula 109: Mode = Most frequent value | बहुलक = सबसे अधिक बार आने वाला मान
Formula 110: Variance: σ² = ∑(xᵢ − x̄)²/n | प्रसरण: σ² = ∑(xᵢ − x̄)²/n
Formula 111: Standard Deviation: σ = √Variance | मानक विचलन: σ = √प्रसरण
Formula 112: Probability: P(E) = n(E)/n(S) | प्रायिकता: P(E) = n(E)/n(S)
Formula 113: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Formula 114: P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) | P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)
Formula 115: Conditional Probability: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) | सशर्त प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Formula 116: Bayes' Theorem: P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B) | बेज प्रमेय: P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B)
Formula 117: HCF by Prime Factorization | अभाज्य गुणनखंड द्वारा म.स.प.
Formula 118: LCM = (a × b)/HCF(a,b) | ल.स.प. = (a × b)/म.स.प.(a,b)
Formula 119: Divisibility Rule for 2: Last digit even | 2 से विभाज्यता: अंतिम अंक सम
Formula 120: Divisibility Rule for 3: Sum of digits divisible by 3 | 3 से विभाज्यता: अंकों का योग 3 से विभाज्य
Formula 121: Divisibility Rule for 5: Last digit 0 or 5 | 5 से विभाज्यता: अंतिम अंक 0 या 5
Formula 122: Divisibility Rule for 9: Sum of digits divisible by 9 | 9 से विभाज्यता: अंकों का योग 9 से विभाज्य
Formula 123: Divisibility Rule for 11: Difference of alternate digits | 11 से विभाज्यता: वैकल्पिक अंकों का अंतर
Formula 124: (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab | (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
Formula 125: (x + a)(x − b) = x² + (a − b)x − ab | (x + a)(x − b) = x² + (a − b)x − ab
Formula 126: (x − a)(x + b) = x² + (b − a)x − ab | (x − a)(x + b) = x² + (b − a)x − ab
Formula 127: (x − a)(x − b) = x² − (a + b)x + ab | (x − a)(x − b) = x² − (a + b)x + ab
Formula 128: aˣ = b ⇒ x = logₐb | aˣ = b ⇒ x = logₐb
Formula 129: logₑx = ln x | logₑx = ln x
Formula 130: Change of Base: logₐb = log b/log a | आधार परिवर्तन: logₐb = log b/log a
Formula 131: sec²θ − tan²θ = 1 | sec²θ − tan²θ = 1
Formula 132: cosec²θ − cot²θ = 1 | cosec²θ − cot²θ = 1
Formula 133: sin(90° − θ) = cos θ | sin(90° − θ) = cos θ
Formula 134: cos(90° − θ) = sin θ | cos(90° − θ) = sin θ
Formula 135: tan(90° − θ) = cot θ | tan(90° − θ) = cot θ
Formula 136: sin(−θ) = −sin θ | sin(−θ) = −sin θ
Formula 137: cos(−θ) = cos θ | cos(−θ) = cos θ
Formula 138: tan(−θ) = −tan θ | tan(−θ) = −tan θ
Formula 139: sin 3θ = 3sin θ − 4sin³θ | sin 3θ = 3sin θ − 4sin³θ
Formula 140: cos 3θ = 4cos³θ − 3cos θ | cos 3θ = 4cos³θ − 3cos θ
Formula 141: tan 3θ = (3tan θ − tan³θ)/(1 − 3tan²θ) | tan 3θ = (3tan θ − tan³θ)/(1 − 3tan²θ)
Formula 142: sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2 | sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2
Formula 143: tan⁻¹x + cot⁻¹x = π/2 | tan⁻¹x + cot⁻¹x = π/2
Formula 144: sec⁻¹x + cosec⁻¹x = π/2 | sec⁻¹x + cosec⁻¹x = π/2
Formula 145: tan⁻¹x + tan⁻¹y = tan⁻¹((x+y)/(1−xy)) | tan⁻¹x + tan⁻¹y = tan⁻¹((x+y)/(1−xy))
Formula 146: 2 sin A cos B = sin(A+B) + sin(A−B) | 2 sin A cos B = sin(A+B) + sin(A−B)
Formula 147: 2 cos A cos B = cos(A+B) + cos(A−B) | 2 cos A cos B = cos(A+B) + cos(A−B)
Formula 148: 2 sin A sin B = cos(A−B) − cos(A+B) | 2 sin A sin B = cos(A−B) − cos(A+B)
Formula 149: sin A cos B = ½[sin(A+B) + sin(A−B)] | sin A cos B = ½[sin(A+B) + sin(A−B)]
Formula 150: cos A cos B = ½[cos(A+B) + cos(A−B)] | cos A cos B = ½[cos(A+B) + cos(A−B)]
Formula 151: sin A sin B = ½[cos(A−B) − cos(A+B)] | sin A sin B = ½[cos(A−B) − cos(A+B)]
Formula 152: a sin θ + b cos θ = √(a²+b²) sin(θ + φ) | a sin θ + b cos θ = √(a²+b²) sin(θ + φ)
Formula 153: a cos θ + b sin θ = √(a²+b²) cos(θ − φ) | a cos θ + b sin θ = √(a²+b²) cos(θ − φ)
Formula 154: Distance Formula: √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²] | दूरी सूत्र: √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]
Formula 155: Midpoint Formula: ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) | मध्यबिंदु सूत्र: ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
Formula 156: Section Formula: ((mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n)) | विभाजन सूत्र: ((mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n))
Formula 157: Centroid of Triangle: ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3) | त्रिभुज का केंद्रक: ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3)
Formula 158: Slope of Line: (y₂−y₁)/(x₂−x₁) | रेखा की प्रवणता: (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
Formula 159: Equation of Line: y = mx + c | रेखा का समीकरण: y = mx + c
Formula 160: Two Point Form: (y−y₁)/(x−x₁) = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) | दो बिंदु रूप: (y−y₁)/(x−x₁) = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
Formula 161: Point-Slope Form: y − y₁ = m(x − x₁) | बिंदु-प्रवणता रूप: y − y₁ = m(x − x₁)
Formula 162: Intercept Form: x/a + y/b = 1 | अंतःखंड रूप: x/a + y/b = 1
Formula 163: Perpendicular Distance: |ax₁+by₁+c|/√(a²+b²) | लंबवत दूरी: |ax₁+by₁+c|/√(a²+b²)
Formula 164: Angle between Lines: tan θ = |(m₁−m₂)/(1+m₁m₂)| | रेखाओं के बीच कोण: tan θ = |(m₁−m₂)/(1+m₁m₂)|
Formula 165: Parallel Lines: m₁ = m₂ | समांतर रेखाएँ: m₁ = m₂
Formula 166: Perpendicular Lines: m₁m₂ = -1 | लंबवत रेखाएँ: m₁m₂ = -1
Formula 167: Area of Triangle: ½|x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)| | त्रिभुज का क्षेत्रफल: ½|x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)|
Formula 168: Circle Equation: (x−h)² + (y−k)² = r² | वृत्त का समीकरण: (x−h)² + (y−k)² = r²
Formula 169: General Circle: x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 | सामान्य वृत्त: x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0
Formula 170: Parabola: y² = 4ax | परवलय: y² = 4ax
Formula 171: Ellipse: x²/a² + y²/b² = 1 | दीर्घवृत्त: x²/a² + y²/b² = 1
Formula 172: Hyperbola: x²/a² − y²/b² = 1 | अतिपरवलय: x²/a² − y²/b² = 1
Formula 173: Eccentricity of Ellipse: e = √(1−b²/a²) | दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता: e = √(1−b²/a²)
Formula 174: Eccentricity of Hyperbola: e = √(1+b²/a²) | अतिपरवलय की उत्केंद्रता: e = √(1+b²/a²)
Formula 175: Latus Rectum of Parabola: 4a | परवलय का नाभिलंब: 4a
Formula 176: Latus Rectum of Ellipse: 2b²/a | दीर्घवृत्त का नाभिलंब: 2b²/a
Formula 177: Latus Rectum of Hyperbola: 2b²/a | अतिपरवलय का नाभिलंब: 2b²/a
Formula 178: Complex Number: z = a + ib | सम्मिश्र संख्या: z = a + ib
Formula 179: Modulus: |z| = √(a² + b²) | मापांक: |z| = √(a² + b²)
Formula 180: Argument: θ = tan⁻¹(b/a) | कोणांक: θ = tan⁻¹(b/a)
Formula 181: Conjugate: z̄ = a − ib | संयुग्मी: z̄ = a − ib
Formula 182: De Moivre's Theorem: (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ | डी मॉइवर प्रमेय: (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ
Formula 183: Euler's Formula: e^(iθ) = cos θ + i sin θ | ऑयलर सूत्र: e^(iθ) = cos θ + i sin θ
Formula 184: nth Root of Unity: e^(2πik/n) | इकाई का nवां मूल: e^(2πik/n)
Formula 185: Sum of nth Roots of Unity = 0 | इकाई के nवें मूलों का योग = 0
Formula 186: Arithmetic Mean ≥ Geometric Mean | समांतर माध्य ≥ गुणोत्तर माध्य
Formula 187: AM ≥ GM ≥ HM | समांतर माध्य ≥ गुणोत्तर माध्य ≥ हरात्मक माध्य
Formula 188: Permutation: nPr = n!/(n−r)! | क्रमचय: nPr = n!/(n−r)!
Formula 189: Combination: nCr = n!/(r!(n−r)!) | संचय: nCr = n!/(r!(n−r)!)
Formula 190: nCr = nCn−r | nCr = nCn−r
Formula 191: nC₀ + nC₁ + nC₂ + ... + nCn = 2ⁿ | nC₀ + nC₁ + nC₂ + ... + nCn = 2ⁿ
Formula 192: Binomial Theorem: (a+b)ⁿ = Σ(nCr aⁿ⁻ʳ bʳ) | द्विपद प्रमेय: (a+b)ⁿ = Σ(nCr aⁿ⁻ʳ bʳ)
Formula 193: General Term: Tᵣ₊₁ = nCr aⁿ⁻ʳ bʳ | सामान्य पद: Tᵣ₊₁ = nCr aⁿ⁻ʳ bʳ
Formula 194: Middle Term: (n/2 + 1)th term (n even) | मध्य पद: (n/2 + 1)वां पद (n सम)
Formula 195: Middle Terms: ((n+1)/2)th and ((n+3)/2)th (n odd) | मध्य पद: ((n+1)/2)वां और ((n+3)/2)वां (n विषम)
Formula 196: Exponential Series: eˣ = 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + ... | घातांक श्रेणी: eˣ = 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + ...
Formula 197: Logarithmic Series: ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 − x⁴/4 + ... | लघुगणक श्रेणी: ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 − x⁴/4 + ...
Formula 198: Trigonometric Series: sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − ... | त्रिकोणमितीय श्रेणी: sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − ...
Formula 199: Trigonometric Series: cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − ... | त्रिकोणमितीय श्रेणी: cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − ...
Formula 200: Determinant of 2×2 Matrix: |a b; c d| = ad − bc | 2×2 आव्यूह का सारणिक: |a b; c d| = ad − bc

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2025 के महत्वपूर्ण करंट अफेयर्स (भारत)

लोकसभा चुनाव 2025: नई सरकार का गठन, रिकॉर्ड मतदान।
चंद्रयान-4 मिशन: ISRO ने चंद्रमा पर रोवर उतारा।
रेलवे में 2 लाख नई भर्तियाँ: युवाओं के लिए बड़ी सौगात।
नई शिक्षा नीति लागू: AI और स्किल कोर्स अनिवार्य।
G20 की अध्यक्षता: भारत से ब्राज़ील को सौंपी गई।
GDP वृद्धि दर 7.4%: विश्व में अग्रणी दर।
Digital Health ID लागू: हर नागरिक को स्वास्थ्य पहचान।

Common and important knowledge

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न्यूटन का पहला नियम: विराम/गति की अवस्था में पिंड तब तक उसी अवस्था में रहता है जब तक उस पर बाह्य बल न लगे।
Newton's First Law: A body at rest/in motion stays so unless acted upon by an external force.
न्यूटन का दूसरा नियम: F = ma (बल = द्रव्यमान × त्वरण)।
Newton's Second Law: F = ma (Force = mass × acceleration).
न्यूटन का तीसरा नियम: प्रत्येक क्रिया की समान एवं विपरीत प्रतिक्रिया होती है।
Newton's Third Law: Every action has an equal & opposite reaction.
भार (W): W = mg (g = गुरुत्वीय त्वरण ≈ 9.8 m/s²)।
Weight (W): W = mg (g = acceleration due to gravity ≈ 9.8 m/s²).
अधिकतम स्थैतिक घर्षण: fₛₘₐₓ = μₛN (μₛ = स्थैतिक घर्षण गुणांक)।
Friction (fs max): Maximum Static Friction: fₛₘₐₓ = μₛN (μₛ = coefficient of static friction).
गतिज घर्षण: fₖ = μₖN।
Kinetic Friction: fₖ = μₖN.
अभिकेंद्र बल (Fc): Fc = mv²/r = mω²r।
Centripetal Force (Fc): Fc = mv²/r = mω²r.
कार्य (W): W = F · d · cosθ (अदिश गुणन)।
Work (W): W = F · d · cosθ (Scalar product).
गतिज ऊर्जा (KE): KE = (1/2)mv²।
Kinetic Energy (KE): KE = (1/2)mv².
स्थितिज ऊर्जा (गुरुत्व): PE = mgh।
Potential Energy (PE gravity): PE = mgh.
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण: यदि केवल संरक्षी बल कार्य करें, तो KE + PE = नियत।
Conservation of Mechanical Energy: If only conservative forces act, KE + PE = constant.
शक्ति (P): P = कार्य / समय = F · v।
Power (P): P = Work / Time = F · v.
आवेग (J): J = Fऔसत * Δt = Δp (संवेग में परिवर्तन)।
Impulse (J): J = Favg * Δt = Δp (Change in momentum).
रैखिक संवेग संरक्षण: यदि नेट बाह्य बल शून्य हो, तो कुल संवेग संरक्षित रहता है।
Conservation of Linear Momentum: If net external force is zero, total momentum conserved.
प्रत्यास्थ संघट्ट: संवेग एवं गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित।
Elastic Collision: Momentum & Kinetic Energy both conserved.
अप्रत्यास्थ संघट्ट: संवेग संरक्षित, गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं।
Inelastic Collision: Momentum conserved, Kinetic Energy not conserved.
बल आघूर्ण (τ): τ = r × F; परिमाण τ = rF sinθ।
Torque (τ): τ = r × F; Magnitude τ = rF sinθ.
कोणीय संवेग (L): L = r × p; घूर्णन के लिए L = Iω।
Angular Momentum (L): L = r × p; For rotation L = Iω.
कोणीय संवेग संरक्षण: यदि नेट बाह्य बल आघूर्ण शून्य हो, तो कुल कोणीय संवेग संरक्षित।
Conservation of Angular Momentum: If net external torque is zero, total angular momentum conserved.
जड़त्व आघूर्ण (I): I = Σmr² (द्रव्यमान का घूर्णी समरूप)।
Moment of Inertia (I): I = Σmr² (Rotational analogue of mass).
दाब (P): P = F/A (मात्रक: पास्कल, Pa)।
Pressure (P): P = F/A (Unit: Pascal, Pa).
पास्कल का नियम: संपीड्य द्रव पर आरोपित दाब समान रूप से सभी दिशाओं में संचरित होता है।
Pascal's Law: Pressure applied to enclosed fluid transmitted undiminished everywhere.
उत्प्लावन बल (Fb): Fb = विस्थापित द्रव का भार = ρf Vg।
Buoyant Force (Fb): Fb = Weight of displaced fluid = ρf Vg.
आर्किमिडीज का सिद्धांत: उत्प्लावन बल विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है।
Archimedes' Principle: Buoyant force equals weight of displaced fluid.
धारारेखी प्रवाह: द्रव प्रवाह जिसमें एक बिंदु पर वेग नियत हो।
Streamline Flow: Fluid flow where velocity at a point is constant.
सांतत्य समीकरण: A₁v₁ = A₂v₂ (असंपीड्य द्रव के लिए द्रव्यमान संरक्षण)।
Equation of Continuity: A₁v₁ = A₂v₂ (Mass conservation for incompressible fluid).
बरनौली का सिद्धांत: P + (1/2)ρv² + ρgh = नियत।
Bernoulli's Principle: P + (1/2)ρv² + ρgh = constant.
पृष्ठ तनाव (S): पृष्ठ पर लंबाई की प्रति इकाई कार्यरत बल; S = F/l।
Surface Tension (S): Force per unit length acting on surface; S = F/l.
केशिकीय उन्नयन (h): h = (2S cosθ) / (ρgr)।
Capillary Rise (h): h = (2S cosθ) / (ρgr).
प्रत्यास्थता गुणांक: प्रतिबल ∝ विकृति (हुक का नियम); प्रतिबल/विकृति = गुणांक।
Elastic Moduli: Stress ∝ Strain (Hooke's Law); Stress/Strain = Modulus.
यंग मापांक (Y): Y = तनन प्रतिबल / तनन विकृति = (F/A)/(ΔL/L)।
Young's Modulus (Y): Y = Tensile Stress / Tensile Strain = (F/A)/(ΔL/L).
दृढ़ता मापांक (G): G = अपरूपण प्रतिबल / अपरूपण विकृति।
Shear Modulus (G): G = Shear Stress / Shear Strain.
आयतन प्रत्यास्थता गुणांक (B): B = -ΔP / (ΔV/V)।
Bulk Modulus (B): B = -ΔP / (ΔV/V).
प्वासों अनुपात (σ): σ = - (अनुप्रस्थ विकृति) / (अनुदैर्ध्य विकृति)।
Poisson's Ratio (σ): σ = - (Lateral Strain) / (Longitudinal Strain).
स्टोक्स का नियम: गोले पर श्यान बल: F = 6πηrv (अंतिम वेग व्युत्पन्न)।
Stoke's Law: Viscous force on sphere: F = 6πηrv (Terminal velocity derived).
शून्यांक नियम: ऊष्मीय साम्य को परिभाषित करता है।
Zeroth Law: Defines thermal equilibrium.
प्रथम नियम: ΔU = Q - W (आंतरिक ऊर्जा परिवर्तन = आपूर्त ऊष्मा - निकाय द्वारा किया गया कार्य)।
First Law: ΔU = Q - W (Change internal energy = Heat supplied - Work done by system).
समतापी प्रक्रम: ΔT = 0; PV = नियत।
Isothermal Process: ΔT = 0; PV = constant.
रूद्धोष्म प्रक्रम: Q = 0; PV^γ = नियत।
Adiabatic Process: Q = 0; PV^γ = constant.
समदाबी प्रक्रम: ΔP = 0; V/T = नियत।
Isobaric Process: ΔP = 0; V/T = constant.
समआयतनिक प्रक्रम: ΔV = 0; P/T = नियत।
Isochoric Process: ΔV = 0; P/T = constant.
गैस द्वारा किया गया कार्य: W = ∫P dV।
Work Done by Gas: W = ∫P dV.
मोलर विशिष्ट ऊष्मा (C): C = (1/n)(dQ/dT)।
Molar Specific Heat (C): C = (1/n)(dQ/dT).
Cp - Cv = R: (आदर्श गैस के लिए)।
Cp - Cv = R: (for ideal gas).
γ (गामा): γ = Cp/Cv।
γ (Gamma): γ = Cp/Cv.
दक्षता (कार्नोट): η = 1 - (T_निम्न / T_उच्च)।
Efficiency (η Carnot): η = 1 - (T_cold / T_hot).
एन्ट्रॉपी (ΔS): ΔS = ∫(dQ_प्रतिक्र / T) (अव्यवस्था का माप)।
Entropy (ΔS): ΔS = ∫(dQ_rev / T) (Measure of disorder).
द्वितीय नियम (केल्विन): ऊष्मा को लगातार पूर्णतया कार्य में नहीं बदला जा सकता।
Second Law (Kelvin): Cannot convert heat fully into work continuously.
द्वितीय नियम (क्लॉजियस): ऊष्मा स्वतः निम्न ताप से उच्च ताप वाले पिंड की ओर प्रवाहित नहीं हो सकती।
Second Law (Clausius): Heat cannot flow spontaneously from cold to hot body.
वर्ग माध्य मूल चाल (vrms): vrms = √(3RT/M)।
RMS Speed (vrms): vrms = √(3RT/M).
माध्य मुक्त पथ (λ): औसत दूरी आणविक संघट्टों के बीच। λ ≈ 1/(√2 π d² n)।
Mean Free Path (λ): Average distance between molecular collisions. λ ≈ 1/(√2 π d² n).
मुक्तता की कोटि (f): ऊर्जा संचय के प्रकार (जैसे, एकपरमाणुक f=3)।
Degree of Freedom (f): Modes of energy storage (e.g., monatomic f=3).
समविभाजन प्रमेय: मुक्तता की कोटि प्रति ऊर्जा = (1/2)kT।
Equipartition Theorem: Energy per degree of freedom = (1/2)kT.
आंतरिक ऊर्जा (U आदर्श गैस): U = (f/2) nRT।
Internal Energy (U ideal gas): U = (f/2) nRT.
ऊष्मा स्थानांतरण: चालन, संवहन, विकिरण।
Heat Transfer: Conduction, Convection, Radiation.
सरल आवर्त गति परिभाषा: त्वरण ∝ -विस्थापन (a = -ω²x)।
SHM Definition: Acceleration ∝ -Displacement (a = -ω²x).
स.आ.ग. विस्थापन: x = A sin(ωt + φ) या x = A cos(ωt + φ)।
SHM Displacement: x = A sin(ωt + φ) or x = A cos(ωt + φ).
स.आ.ग. वेग: v = ω√(A² - x²)।
SHM Velocity: v = ω√(A² - x²).
स.आ.ग. त्वरण: a = -ω²x।
SHM Acceleration: a = -ω²x.
आवर्तकाल (T): T = 2π√(m/k) (स्प्रिंग-द्रव्यमान); T = 2π√(l/g) (सरल लोलक सन्निकट)।
Time Period (T): T = 2π√(m/k) (Spring-mass); T = 2π√(l/g) (Simple Pendulum approx).
आवृत्ति (ν): ν = 1/T।
Frequency (ν): ν = 1/T.
कोणीय आवृत्ति (ω): ω = 2πν = 2π/T।
Angular Frequency (ω): ω = 2πν = 2π/T.
स्प्रिंग स्थितिज ऊर्जा: PE = (1/2)kx²।
Spring PE: PE = (1/2)kx².
तरंग चाल (v): v = νλ।
Wave Speed (v): v = νλ.
अनुप्रस्थ तरंग: कण विस्थापन ⊥ तरंग संचरण (जैसे, प्रकाश, डोरी)।
Transverse Wave: Particle displacement ⊥ wave propagation (e.g., light, string).
अनुदैर्ध्य तरंग: कण विस्थापन ∥ तरंग संचरण (जैसे, ध्वनि)।
Longitudinal Wave: Particle displacement ∥ wave propagation (e.g., sound).
तरंग समीकरण: ∂²y/∂t² = v² ∂²y/∂x²।
Wave Equation: ∂²y/∂t² = v² ∂²y/∂x².
तीव्रता (I): I ∝ (आयाम)²।
Intensity (I): I ∝ (Amplitude)².
अध्यारोपण का सिद्धांत: परिणामी विस्थापन = व्यष्टिगत विस्थापनों का सदिश योग।
Principle of Superposition: Net displacement = vector sum of individual displacements.
वर्तमान आवृत्ति: |ν₁ - ν₂|।
Beat Frequency: |ν₁ - ν₂|.
अप्रगामी तरंग: विपरीत दिशाओं में गमन कर रही दो समरूप तरंगों के व्यतिकरण से बनती है।
Standing Wave: Formed by interference of two identical waves traveling opposite directions.
निस्पंद: अप्रगामी तरंग में शून्य/न्यूनतम आयाम के बिंदु।
Nodes: Points of zero/minimum amplitude in standing wave.
प्रस्पंद: अप्रगामी तरंग में अधिकतम आयाम के बिंदु।
Antinodes: Points of maximum amplitude in standing wave.
डॉप्लर प्रभाव: स्रोत एवं प्रेक्षक के बीच आपेक्षिक गति के कारण आभासी आवृत्ति परिवर्तन।
Doppler Effect: Apparent frequency change due to relative motion between source & observer.
ध्वनि की चाल (वायु): v ≈ 332 m/s at 0°C; तापमान के साथ बढ़ती है।
Speed of Sound (Air): v ≈ 332 m/s at 0°C; increases with temperature.
कूलॉम का नियम: F = k q₁q₂/r²; k = 1/(4πε₀)।
Coulomb's Law: F = k q₁q₂/r²; k = 1/(4πε₀).
विद्युत क्षेत्र (E): E = F/q (सदिश)।
Electric Field (E): E = F/q (Vector).
बिंदु आवेश के कारण E: E = kq/r² (त्रिज्य)।
E due to Point Charge: E = kq/r² (Radial).
विद्युत फ्लक्स (ΦE): ΦE = ∫E·dA (अदिश)।
Electric Flux (ΦE): ΦE = ∫E·dA (Scalar).
गाउस का नियम: ∫E·dA = Q_परिबद्ध / ε₀।
Gauss's Law: ∫E·dA = Q_enclosed / ε₀.
विभवांतर (V): V = W/q (अदिश)।
Potential Difference (V): V = W/q (Scalar).
बिंदु आवेश के कारण विभव (V): V = kq/r।
Potential (V) due to Point Charge: V = kq/r.
E और V संबंध: E = -dV/dr (1D), E = -∇V (3D)।
Relation E & V: E = -dV/dr (1D), E = -∇V (3D).
धारिता (C): C = Q/V।
Capacitance (C): C = Q/V.
समानांतर प्लेट संधारित्र (C): C = ε₀A/d (निर्वात)।
Parallel Plate Capacitor (C): C = ε₀A/d (Vacuum).
समानांतर में संधारित्र: C_तुल्य = C₁ + C₂ + ...
Capacitors in Parallel: C_eq = C₁ + C₂ + ...
श्रेणी में संधारित्र: 1/C_तुल्य = 1/C₁ + 1/C₂ + ...
Capacitors in Series: 1/C_eq = 1/C₁ + 1/C₂ + ...
संचित ऊर्जा (U संधारित्र): U = (1/2)CV² = (1/2)Q²/C = (1/2)QV।
Energy Stored (U capacitor): U = (1/2)CV² = (1/2)Q²/C = (1/2)QV.
परावैद्युत: विद्युतरोधक जो धारिता बढ़ाता है; C = κC₀ (κ=परावैद्युतांक)।
Dielectric: Insulator increasing capacitance; C = κC₀ (κ=dielectric constant).
ध्रुवण: परावैद्युत बाह्य क्षेत्र में पृष्ठ आवेश विकसित करता है।
Polarization: Dielectric develops surface charge in external field.
धारा (I): I = dQ/dt (आवेश प्रवाह की दर)।
Current (I): I = dQ/dt (Rate of charge flow).
ओम का नियम: V = IR (R नियत)।
Ohm's Law: V = IR (R constant).
प्रतिरोध (R): R = ρl/A (ρ=प्रतिरोधकता)।
Resistance (R): R = ρl/A (ρ=resistivity).
श्रेणी में प्रतिरोधक: R_तुल्य = R₁ + R₂ + ...
Resistors in Series: R_eq = R₁ + R₂ + ...
समानांतर में प्रतिरोधक: 1/R_तुल्य = 1/R₁ + 1/R₂ + ...
Resistors in Parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + ...
क्षयित शक्ति (P प्रतिरोधक): P = VI = I²R = V²/R।
Power Dissipated (P resistor): P = VI = I²R = V²/R.
वि.वा.ब. (ε): स्रोत द्वारा प्रति इकाई आवेश दी गई ऊर्जा।
EMF (ε): Energy supplied per unit charge by source.
आंतरिक प्रतिरोध (r): सेल/बैटरी के भीतर प्रतिरोध।
Internal Resistance (r): Resistance within battery/cell.
टर्मिनल वोल्टता (V): V = ε - Ir (निरावेशन)।
Terminal Voltage (V): V = ε - Ir (Discharging).
किरचॉफ का संधि नियम: ΣI_अंदर = ΣI_बाहर (आवेश संरक्षण)।
Kirchhoff's Junction Rule: ΣI_in = ΣI_out (Charge conservation).
किरचॉफ का लूप नियम: बंद लूप में ΣΔV = 0 (ऊर्जा संरक्षण)।
Kirchhoff's Loop Rule: ΣΔV = 0 around closed loop (Energy conservation).
व्हीटस्टोन सेतु: संतुलित यदि P/Q = R/S → धारामापी शून्य दिखाता है।
Wheatstone Bridge: Balanced if P/Q = R/S → Galvanometer shows null.
मीटर सेतु: व्हीटस्टोन पर आधारित; R = S (l₁ / l₂)।
Meter Bridge: Based on Wheatstone; R = S (l₁ / l₂).
विभवमापी: शून्य बिंदु का उपयोग करके वि.वा.ब./तुलना मापता है।
Potentiometer: Measures EMF/comparison using null point.
अपवाह वेग (vd): vd = (eEτ)/m (इलेक्ट्रॉनों का औसत वेग)।
Drift Velocity (vd): vd = (eEτ)/m (Average velocity of electrons).
चुंबकीय क्षेत्र (B): गतिमान आवेश पर बल F = q(v × B)।
Magnetic Field (B): Force on moving charge F = q(v × B).
बायो-सावर्ट नियम: dB = (μ₀/4π) (I dl × r̂)/r²।
Biot-Savart Law: dB = (μ₀/4π) (I dl × r̂)/r².
लंबी सीधी धारावाही तार के कारण B: B = (μ₀I)/(2πr)।
B due to Long Straight Wire: B = (μ₀I)/(2πr).
वृत्ताकार लूप के केंद्र पर B: B = (μ₀I)/(2R)।
B at Center of Loop: B = (μ₀I)/(2R).
परिनालिका के भीतर B: B = μ₀nI (समान)।
B inside Solenoid: B = μ₀nI (Uniform).
ऐम्पियर का परिपथीय नियम: ∮B·dl = μ₀I_परिबद्ध।
Ampere's Circuital Law: ∮B·dl = μ₀I_enclosed.
धारावाही तार पर बल: F = I(l × B)।
Force on Current Wire: F = I(l × B).
समांतर तारों के बीच बल: F/l = (μ₀I₁I₂)/(2πd) (आकर्षक यदि धाराएँ समान दिशा में)।
Force between Parallel Wires: F/l = (μ₀I₁I₂)/(2πd) (Attractive if currents same direction).
धारावाही लूप पर बल आघूर्ण: τ = M × B; |τ| = NIAB sinθ (M=चुंबकीय आघूर्ण)।
Torque on Current Loop: τ = M × B; |τ| = NIAB sinθ (M=magnetic moment).
चुंबकीय आघूर्ण (M): M = NIA (दिशा लूप के तल के ⊥)।
Magnetic Moment (M): M = NIA (Direction ⊥ plane of loop).
साइक्लोट्रॉन आवृत्ति (νc): νc = qB/(2πm)।
Cyclotron Frequency (νc): νc = qB/(2πm).
चुंबकीय क्षेत्र में त्रिज्या: r = mv/(qB)।
Radius in Magnetic Field: r = mv/(qB).
चुंबकीय फ्लक्स (ΦB): ΦB = ∫B·dA।
Magnetic Flux (ΦB): ΦB = ∫B·dA.
फैराडे का नियम: ε = -dΦB/dt।
Faraday's Law: ε = -dΦB/dt.
लेंज का नियम: प्रेरित धारा उस परिवर्तन का विरोध करती है जिससे वह उत्पन्न होती है।
Lenz's Law: Induced current opposes the change causing it.
स्वप्रेरकत्व (L): ε = -L dI/dt; Φ = LI।
Self Inductance (L): ε = -L dI/dt; Φ = LI.
संचित ऊर्जा (U प्रेरक): U = (1/2)LI²।
Energy Stored (U inductor): U = (1/2)LI².
अन्योन्य प्रेरकत्व (M): ε₂ = -M dI₁/dt।
Mutual Inductance (M): ε₂ = -M dI₁/dt.
प्रत्यावर्ती वोल्टता/धारा: V = V₀ sin(ωt), I = I₀ sin(ωt + φ)।
AC Voltage/Current: V = V₀ sin(ωt), I = I₀ sin(ωt + φ).
वर्ग माध्य मूल मान: Iᵣₘₛ = I₀/√2; Vᵣₘₛ = V₀/√2।
RMS Value: Iᵣₘₛ = I₀/√2; Vᵣₘₛ = V₀/√2.
प्रत्यावर्ती धारा में शक्ति: P_औसत = Vᵣₘₛ Iᵣₘₛ cosφ (cosφ = शक्ति गुणांक)।
Power in AC: P_avg = Vᵣₘₛ Iᵣₘₛ cosφ (cosφ = power factor).
शुद्ध प्रतिरोधक: φ = 0; P_औसत = Vᵣₘₛ Iᵣₘₛ।
Pure Resistor: φ = 0; P_avg = Vᵣₘₛ Iᵣₘₛ.
शुद्ध प्रेरकत्व: φ = π/2; P_औसत = 0; X_L = ωL (प्रेरणिक प्रतिघात)।
Pure Inductor: φ = π/2; P_avg = 0; X_L = ωL (Inductive reactance).
शुद्ध धारिता: φ = -π/2; P_औसत = 0; X_C = 1/(ωC) (धारितीय प्रतिघात)।
Pure Capacitor: φ = -π/2; P_avg = 0; X_C = 1/(ωC) (Capacitive reactance).
प्रतिबाधा (Z): Z = √[R² + (X_L - X_C)²] (श्रेणी RLC)।
Impedance (Z): Z = √[R² + (X_L - X_C)²] (Series RLC).
कला कोण (φ): tanφ = (X_L - X_C)/R (श्रेणी RLC)।
Phase Angle (φ): tanφ = (X_L - X_C)/R (Series RLC).
अनुनाद (RLC): X_L = X_C; ωᵣ = 1/√(LC); Z_न्यूनतम = R; I_अधिकतम।
Resonance (RLC): X_L = X_C; ωᵣ = 1/√(LC); Z_min = R; I_max.
ट्रांसफॉर्मर: Vₛ/Vₚ = Nₛ/Nₚ = Iₚ/Iₛ (आदर्श)।
Transformer: Vₛ/Vₚ = Nₛ/Nₚ = Iₚ/Iₛ (Ideal).
भँवर धाराएँ: ठोस धातु में प्रेरित धाराएँ → हानियाँ।
Eddy Currents: Induced currents in bulk metal → losses.
परावर्तन के नियम: i = r; आपतित, परावर्तित किरण एवं अभिलंब समतलीय।
Laws of Reflection: i = r; Incident, reflected ray & normal coplanar.
अपवर्तन के नियम (स्नेल): n₁ sin i = n₂ sin r।
Laws of Refraction (Snell's): n₁ sin i = n₂ sin r.
अपवर्तनांक (n): n = c/v (निर्वात में चाल / माध्यम में चाल)।
Refractive Index (n): n = c/v (Speed in vacuum / speed in medium).
क्रांतिक कोण (θc): sinθc = n₂/n₁ (n₁ > n₂)।
Critical Angle (θc): sinθc = n₂/n₁ (n₁ > n₂).
पूर्ण आंतरिक परावर्तन (TIR): i > θc एवं n₁ > n₂।
Total Internal Reflection (TIR): i > θc & n₁ > n₂.
लेंस निर्माता सूत्र: 1/f = (n-1)[1/R₁ - 1/R₂]।
Lens Maker's Formula: 1/f = (n-1)[1/R₁ - 1/R₂].
लेंस सूत्र: 1/f = 1/v - 1/u।
Lens Formula: 1/f = 1/v - 1/u.
आवर्धन (m): m = hᵢ/hₒ = v/u।
Magnification (m): m = hᵢ/hₒ = v/u.
लेंस की क्षमता (P): P = 1/f (डायोप्टर में, f मीटर में)।
Power of Lens (P): P = 1/f (in diopters, f in meters).
सूक्ष्मदर्शी आवर्धन: m ≈ (L/fₒ)(D/fₑ) (सरल)।
Microscope Magnification: m ≈ (L/fₒ)(D/fₑ) (Simple).
दूरदर्शी आवर्धन: m = fₒ / fₑ (अपवर्तक)।
Telescope Magnification: m = fₒ / fₑ (Refracting).
तरंगाग्र: समान कला वाले बिंदुओं का बिन्दुपथ।
Wavefront: Locus of points with same phase.
हाइगेन्स सिद्धांत: तरंगाग्र का प्रत्येक बिंदु द्वितीयक तरंगिका का स्रोत है।
Huygens Principle: Every point on wavefront is source of secondary wavelet.
व्यतिकरण: संपोषी: Δx = nλ; विनाशी: Δx = (n+1/2)λ।
Interference: Constructive: Δx = nλ; Destructive: Δx = (n+1/2)λ.
यंग का द्विक रेखा छिद्र प्रयोग: फ्रिंज चौड़ाई β = λD/d।
Young's Double Slit: Fringe width β = λD/d.
विवर्तन ग्रेटिंग: d sinθ = nλ (प्रधान उच्चिष्ट)।
Diffraction Grating: d sinθ = nλ (Principal maxima).
ध्रुवण: अनुप्रस्थ तरंग का गुण; मालस का नियम: I = I₀ cos²θ।
Polarization: Transverse wave property; Malus' Law: I = I₀ cos²θ.
ब्रूस्टर का नियम: tan iₚ = n (परावर्तित प्रकाश पूर्णतः ध्रुवित)।
Brewster's Law: tan iₚ = n (Reflected light completely polarized).
विभेदन क्षमता (सूक्ष्मदर्शी): R.P. = 1/(Δd) = (2μ sinβ)/λ।
Resolving Power (Microscope): R.P. = 1/(Δd) = (2μ sinβ)/λ.
विभेदन क्षमता (दूरदर्शी): R.P. = 1/(Δθ) = D/(1.22λ)।
Resolving Power (Telescope): R.P. = 1/(Δθ) = D/(1.22λ).
प्रकाशवैद्युत प्रभाव: KEmax = hν - φ (φ=कार्य फलन)।
Photoelectric Effect: KEmax = hν - φ (φ=work function).
निरोधी विभव (Vs): eVs = KEmax।
Stopping Potential (Vs): eVs = KEmax.
डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य: λ = h/p = h/(mv)।
de Broglie Wavelength: λ = h/p = h/(mv).
बोर मॉडल अभिधारणाएँ: क्वांटित कक्षाएँ, कोणीय संवेग (mvr = nh/2π), संक्रमण पर विकिरण।
Bohr Model Postulates: Quantized orbits, angular momentum (mvr = nh/2π), radiation on transition.
बोर त्रिज्या (a₀): a₀ = 4πε₀ħ²/(mₑe²) ≈ 0.53 Å।
Bohr Radius (a₀): a₀ = 4πε₀ħ²/(mₑe²) ≈ 0.53 Å.
बोर कक्षा में ऊर्जा (En): En = - (13.6 Z²)/n² eV।
Energy in Bohr Orbit (En): En = - (13.6 Z²)/n² eV.
रिडबर्ग सूत्र: 1/λ = R (1/n₁² - 1/n₂²)।
Rydberg Formula: 1/λ = R (1/n₁² - 1/n₂²).
हाइजेनबर्ग अनिश्चितता: Δx Δp ≥ ħ/2; ΔE Δt ≥ ħ/2।
Heisenberg Uncertainty: Δx Δp ≥ ħ/2; ΔE Δt ≥ ħ/2.
फोटॉन ऊर्जा: E = hν = hc/λ।
Photon Energy: E = hν = hc/λ.
नाभिकीय आकार: R = R₀ A^(1/3) (R₀ ≈ 1.2 fm)।
Nuclear Size: R = R₀ A^(1/3) (R₀ ≈ 1.2 fm).
बंधन ऊर्जा (BE): BE = [Zmₚ + Nmₙ - M_नाभिक]c²।
Binding Energy (BE): BE = [Zmₚ + Nmₙ - M_nuc]c².
न्यूक्लियॉन प्रति बंधन ऊर्जा: A=56 (Fe) के निकट शिखर, भारी नाभिकों के लिए घटती है।
BE per Nucleon: Peak near A=56 (Fe), decreases for heavy nuclei.
रेडियोएक्टिव क्षय नियम: N = N₀ e^(-λt)।
Radioactive Decay Law: N = N₀ e^(-λt).
अर्ध-आयु (T½): T½ = ln(2)/λ = 0.693/λ।
Half-life (T½): T½ = ln(2)/λ = 0.693/λ.
माध्य आयु (τ): τ = 1/λ।
Mean Life (τ): τ = 1/λ.
α-क्षय: Z में 2 से, A में 4 से कमी।
α-decay: Reduces Z by 2, A by 4.
β⁻-क्षय: n → p + e⁻ + ν̄ₑ; Z 1 से बढ़ता है, A समान।
β⁻-decay: n → p + e⁻ + ν̄ₑ; Z increases by 1, A same.
β⁺-क्षय: p → n + e⁺ + νₑ; Z 1 से घटता है, A समान।
β⁺-decay: p → n + e⁺ + νₑ; Z decreases by 1, A same.
γ-क्षय: उत्तेजित अवस्था में नाभिक फोटॉन उत्सर्जित करता है; Z एवं A अपरिवर्तित।
γ-decay: Nucleus in excited state emits photon; Z & A unchanged.
द्रव्यमान क्षति (Δm): Δm = घटकों का द्रव्यमान - नाभिक का द्रव्यमान।
Mass Defect (Δm): Δm = Mass of constituents - Mass of nucleus.
नाभिकीय विखंडन: भारी नाभिक टूटता है → हल्के नाभिक + ऊर्जा (जैसे, U-235)।
Nuclear Fission: Heavy nucleus splits → Lighter nuclei + Energy (e.g., U-235).
नाभिकीय संलयन: हल्के नाभिक संयोजित होते हैं → भारी नाभिक + ऊर्जा (जैसे, सूर्य)।
Nuclear Fusion: Light nuclei combine → Heavier nucleus + Energy (e.g., Sun).
PN संधि डायोड: अग्र अभिनति में सुगमता से चालन करता है, पश्च अभिनति में रोध करता है।
PN Junction Diode: Conducts easily in forward bias, blocks in reverse bias.
ट्रांजिस्टर (NPN/PNP): प्रवर्धक/स्विच; उत्सर्जक, आधार, संग्राहक।
Transistor (NPN/PNP): Amplifier/Switch; Emitter, Base, Collector.
लॉजिक गेट्स: AND, OR, NOT, NAND, NOR, XOR (सत्यता सारणी आवश्यक)।
Logic Gates: AND, OR, NOT, NAND, NOR, XOR (Truth tables essential).
जेनर डायोड: पश्च भंजन में वोल्टता नियंत्रक के रूप में प्रयुक्त।
Zener Diode: Used as voltage regulator in reverse breakdown.
वर्नियर कैलिपर्स: अल्पतमांक (LC) = 1 MSD - 1 VSD।
Vernier Calipers: Least Count (LC) = 1 MSD - 1 VSD.
पच्चर मापी: LC = चूड़ी अन्तराल / वृत्तीय पैमाने के भागों की संख्या।
Screw Gauge: LC = Pitch / Number of circular scale divisions.
ओम के नियम का सत्यापन: V बनाम I आलेख → सरल रेखा ढाल = R।
Ohm's Law Verification: Plot V vs I → Straight line slope = R.
मीटर सेतु शून्य बिंदु: समान प्रतिरोधों के लिए मध्य में।
Metre Bridge Null Point: At middle for equal resistances.
विभवमापी तुलना: ε₁/ε₂ = l₁/l₂।
Potentiometer Comparison: ε₁/ε₂ = l₁/l₂.
फोकस दूरी (अवतल दर्पण): 1/f = 1/u + 1/v।
Focal Length (Concave Mirror): 1/f = 1/u + 1/v.
प्रिज्म कोण (A): A = r₁ + r₂।
Prism Angle (A): A = r₁ + r₂.
न्यूनतम विचलन (δₘ): δₘ = 2i - A (जब i = e, r₁ = r₂ = A/2)।
Minimum Deviation (δₘ): δₘ = 2i - A (when i = e, r₁ = r₂ = A/2).
अपवर्तनांक (प्रिज्म): n = sin[(A+δₘ)/2] / sin(A/2)।
Refractive Index (Prism): n = sin[(A+δₘ)/2] / sin(A/2).
प्लांक नियतांक (h): Vₛ बनाम ν आलेख की ढाल से (प्रकाशवैद्युत)।
Planck's Constant (h): From slope of Vₛ vs ν graph (Photoelectric).
हॉल प्रभाव: V_H, B और I के समानुपाती; वाहक प्रकार और घनत्व ज्ञात करता है।
Hall Effect: V_H proportional to B & I; determines carrier type & density.
सोनोमीटर: ν ∝ 1/l (लंबाई) नियत T और μ के लिए।
Sonometer: ν ∝ 1/l (Length) for constant T & μ.
अनुनाद नलिका: प्रथम अनुनाद l₁ ≈ λ/4 पर; द्वितीय l₂ ≈ 3λ/4 पर।
Resonance Tube: First resonance at l₁ ≈ λ/4; second at l₂ ≈ 3λ/4.
विशिष्ट ऊष्मा (ठोस): मिश्रण विधि द्वारा।
Specific Heat (Solid): By method of mixtures.
थर्मोकपल: सीबेक प्रभाव → तापवैद्युत वि.वा.ब.।
Thermocouple: Seebeck effect → Thermoelectric EMF.
विमाएँ: सूत्रों में संगति जाँच आवश्यक।
Dimensions: Consistency check essential in formulas.
सार्थक अंक: मापन की परिशुद्धता को दर्शाते हैं।
Significant Figures: Reflect precision of measurement.
SI मात्रक: मूल मात्रक (m, kg, s, A, K, mol, cd) और व्युत्पन्न मात्रक (N, J, W, V, Ω, F, T आदि) जानें।
SI Units: Know base units (m, kg, s, A, K, mol, cd) and derived units (N, J, W, V, Ω, F, T etc.).
त्रुटि विश्लेषण: निरपेक्ष त्रुटि, आपेक्षिक त्रुटि, प्रतिशत त्रुटि, संचरण।
Error Analysis: Absolute error, relative error, percentage error, propagation.
आलेख: ढाल, वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल, अंतःखंड भौतिक राशियाँ देते हैं।
Graphs: Slope, area under curve, intercepts give physical quantities.

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